ГДЗ Геометрія 7 клас Бевз (2024)

Дано два кола рівних радіусів, які дотикаються зовні. Доведи, що геометричним місцем точок, рівновіддалених від центрів кіл, є спільна дотична цих кіл, яка проходить через точку дотику. 

Нехай дано дві окружності із центром у точках O та O1 з рівними радіусами OA і OA1, які дотикаються зовнішнім чином. Доведемо, що ГМТ, рівновіддалених від центрів окружностей, є спільна дотична b цих окружностей, що проходить через точку торкання — точку А. Якщо окружності мають зовнішнє дотикання, то вони мають спільну точку А, через яку проходить спільна дотична b цих окружностей. За умовою OA = OA1, оскільки точка А — середина OO1. За властивістю дотичній b ⊥ OA і b ⊥ O1A, тоді b є середнім перпендикуляром, проведеним до відрізка AB. Виберемо на дотичній b будь–яку точку C і доведемо, що OC = CO1. ∆OCA1 — рівнобедрений, виходить, CA — медіана й висота, отже OC = CO1. Значить точки O та O1 — рівновіддалені від будь–якої точки дотичній b. Доведемо, що точка дотикання єдина. Нехай існує ще одна дотична с, що проходить через точку А, тоді с ⊥ OA й c ⊥ OA1 і через точку А проходить два перпендикуляри до OO1, а такого бути не може, тоді така дотична єдина. Що й було потрібно довести.