ГДЗ Геометрія 9 клас Істер НУШ

104. У прямокутному трикутнику точка дотику вписаного кола ділить гіпотенузу на відрізки завдовжки 4 см і 6 см. Знайдіть площу трикутника.

1) AK = 4 см; KB = 6 см.
2) За властивістю дотичних маємо AM = AK = 4 см; BL = BK = 6 см.
3) Позначимо CM = CL = х см.
4) AB2 = AC2 + CB2; 102 = (4 + х)2 + (6 + х)2; 100 = 16 + 8х + х2 + 36 + 12х + х2;
2x2 + 20x – 48 = 0; x2 + 10х – 24 = 0;
D = 102 – 4 • 1 • (–24) = 196 = 142;
x1 = (10+14)/2 = 2 (см); x2 = (-15-14)/2 < 0 – не задовольняє умову.
5) Отже, AC = х + 4 = 2 + 4 = 6 (см); BC = 2 + 6 = 8 (см).
6) S∆ABC = 1/2 • АС • ВС = 1/2 • 6 • 8 = 24 (см2).
Відповідь: 24 см2.