ГДЗ Геометрія 7 клас Мерзляк (2024)

У рівнобедреному трикутнику ABC відомо, що AB = BC, точка O — центр вписаного кола, точки D i E — точки дотику вписаного кола до сторін AC і AB відповідно, ∠ABC = 48°. Знайдіть кут DOE.

Дано: ∆ABC — рівнобедрений. AB = BC. O — центр вписаного кола. D ∈ AC, E ∈ AB. D i E — точки дотику. ∠ABC = 48°. Знайти: ∠DOE. Розв'язання: Розглянемо ∆ABC — рівнобедрений. За властивістю кутів рівнобедреного трикутника маємо: ∠BAC = ∠BCA. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: ∠ABC + ∠ACB + ∠BCA = 180°. ∠BAC = ∠BCA = (180° – 48°) : 2 = 132° : 2 = 66°. Якщо O — центр вписаного кола, тоді AO — бісектриса ∠BAC, тобто ∠EAO = ∠DAO = 1/2 ∠EAD = 66° : 2 = 33°. Якщо D і E точки дотику. За властивістю дотичних маємо: OD ⊥ AC, OE ⊥ AB; ∠ADO = ∠AEO = 90°. Розглянемо ∆AEO і ∆ADO — прямокутні. OD = OE — радіуси вписаного кола; AO — спільна сторона, ∠EAO = ∠DAO. За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо: ∆EAO = ∆DAO. Звідси маємо: ∠EOA = ∠DOA. За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника маємо: ∠EOA = 90° – 33° = 57°, ∠AOD = 57°. За аксіомою вимірювання кутів, маємо: ∠EOD = ∠EOA + ∠AOD; ∠EOD = 57° + 57° = 114°.
Відповідь: 114°.