ГДЗ Геометрія 7 клас Мерзляк (2024)

Доведіть, що: 1) бісектриси різносторонніх кутів, утворених при перетині двох паралельних прямих січною, паралельні; 2) бісектриси односторонніх кутів, утворених при перетині двох паралельних прямих січною, перпендикулярні.

1) Нехай а ∥ b, с — січна. Нехай m — бісектриса ∠4, n — бісектриса ∠6. Доведемо, що m ∥ n. Оскільки а ∥ b, с — січна, то ∠4 = ∠6 (як різносторонні). ∠ABK = ∠KBP = 1/2 ∠4; ∠NPG = ∠GPB = 1/2∠6. ∠KBP = ∠GPB — ці кути є різносторонніми при прямих BK і PG та січній с, тоді BK ∥ PG. 2) Нехай а ∥ b, с — січна. ∠BCF і ∠CFK — односторонні. CO і FO — бісектриси, доведемо, що ∠COF = 90°. Оскільки а ∥ b, с — січна, то ∠BCF + ∠CFK = 180° ∠BCO = ∠OCF = 1/2 ∠BCF; ∠CFO = ∠OFK = 1/2 ∠CFK; ∠OCF + ∠CFO = 1/2∠BCF + 1/2∠CFK = 1/2 (∠BCF + ∠CFK) = 1/2 ∙ 180° = 90°. Розглянемо ∆COF. ∠OCF + ∠CFO + ∠COF = 180°; 90° + ∠COF = 180°; ∠COF = 180° – 90°; ∠COF = 90°. CO ⊥ FO.