ГДЗ Геометрія 7 клас Мерзляк (2024)

Висоти AM і CK трикутника ABC перетинаються в точці О, OK = ОМ, ∠BAM = ∠ACK. Доведіть, що трикутник ABC рівносторонній.

Нехай дано ∆ABC, AM і CK — висоти, т. O — точка перетину висот. OK = OM, ∠BAM = ∠ACK. Доведемо, що ∆ABC — рівносторонній. Нехай ∠BAM = ∠ACK = x. Розглянемо ∆ABM (∠M = 90°). ∠B = 90° – x. Розглянемо ∆KBC (∠K = 90°). ∠B = 90° – х, ∠BCK = x. Розглянемо ∆KOA і ∆MOC. 1) ∠OKA = ∠OMC = 90° (AM і CK — висоти). 2) KO = OM (за умовою). 3) ∠KAO = ∠MCO = x. Отже, ∆KOA = ∆MOC за катетом і гострим кутом, з цього випливає, що AO = ОС. Тоді ∆AOC — рівнобедрений і ∠OAC = ∠OCA = х. Розглянемо ∆ABC. ∠B = 90° – x, ∠A = x + x = 2х, ∠C = х + х = 2х. Оскільки ∠A + ∠B + ∠C = 180°, то 90 – х + 2х + 2х = 180; 90 + Зх = 180; Зх = 90; х = ЗО. ∠B = 90° – 30° = 60°, ∠A = 30° + 30° = 60°, ∠C = 30° + 30° – 60°. Якщо в ∆ABC ∠A = ∠B = ∠C = 60°, то цей трикутник — рівносторонній.