ГДЗ Геометрія 7 клас Мерзляк (2024)

Коло, центр якого належить бісектрисі кута, перетинає кожну з його сторін у двох точках. Доведіть, що відрізки, які відтинає коло на сторонах кута, рівні.

Дано: ∠AKE. O ∈ KC; KC — бісектриса ∠AKE. AK перетинає коло в точках А, В. AE перетинає коло в точках E, F. Довести: AB = EF. Доведення: Виконаємо додаткову побудову: радіуси OA, OB, OE, OF. Розглянемо ∆BOA — рівнобедрений (BO = AO). Побудуємо висоту OP. За властивістю рівнобедреного трикутника маємо: OP — медіана. За означенням медіани трикутника маємо: BP = PA = 1/2 BA, отже, BA = 2BP. Аналогічно ∆FOE — рівнобедрений (OF = OE — радіуси). Будуємо висоту OH, OH — медіана. FH = HE = 1/2FE; FE = 2FH. Розглянемо ∆KPO і ∆KHO — прямокутний. KO — спільна сторона; ∠PKO = ∠HKO. (За умовою KO — бісектриса ∠PKH) . За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо: ∆KPO = ∆КНО. Звідси маємо: OP = ОН. Розглянемо ∆BOP і ∆FOH — прямокутний. BO = OF (радіуси); OH = OP. За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо: ∆BOP = ∆FOH. Звідси маємо: BP = FH. Отже, якщо BP = FH, тоді BA = FE. Доведено.