ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

Площа рівнобічної трапеції дорівнює 36√2 см2, а гострий кут — 45°. Знайдіть висоту трапеції, якщо в неї можна вписати коло.

За умовою у трапецію можна вписати коло, тому АВ + ВС = АВ + СВ, АВ + ВС = 2АВ.
Розглянемо ∆АBN — прямокутний (∠N = 90°), ∠А = 45°. Із властивості гострих кутів прямокутного трикутника маємо: ∠АВN – 45°.
Отже, ∆АBN — рівнобедрений, АN = NB. Нехай NВ = х см, АN = х см, ВС = у см.
За властивістю рівнобічної трапеції маємо: AD = BC + 2AN, AD = y + 2x (см).
SABCD = (a+b)/2 • h, де а = ВС = у см, b = AD = 2x + y (см), h = BC = x см.
(y+2x+y)/2 • x = 36√2; (2x+2y)/2 • x = 36√25; (2(x+y))/2 • x = 36√2; (x + y) • x = 36√2. АD + ВС = у + 2х + у = 2у + 2х = 2(у + х); 2АВ = 2(у + х); АВ = у + x.
Розглянемо ∆АВN — прямокутний рівнобедрений (∠N= 90°, АN = ВN = х см).
За теоремою Піфагора маємо: АВ2 = АN2 + NВ2. АВ2 = х2 + х2 = 2х2; АВ = √(2x^2 ) = x√2 см. х + у = x√2; у = x√2 – х = х(√2 – 1) см. х • (х + х(√2 – 1)) = 36√2; х(x + √2x – x) = 36√2; √2x2 = 36√2; х2 = (36√2)/√2 = 36; x = 6; BN = 6 см.
Відповідь: ВN = 6 см.