ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

Відстань від середини хорди AC кола до діаметра AB дорівнює 4 см. Знайдіть хорду BC, якщо ∠BAC = 30°.

За умовою АВ — діаметр. За наслідком з теореми про вписані кути маємо: ∠АСВ = 90°.
Виконаємо додаткову побудову: висоту СК (СК ⊥ АВ). За умовою N — середина АС і NР ⊥ АВ, СК ⊥ АВ.
Отже, NР ∥ СК. За теоремою про середню лінію трикутника маємо: NP — середня лінія ∆АСК. СК = 2NP, СК = 2 • 4 = 8 (см).
Розглянемо ∆АСВ — прямокутний (∠С = 90°) ∠A = 30°. 3а властивістю гострих кутів прямокутного трикутника маємо: ∠А + ∠В = 90°, ∠В = 90° – ∠А, ∠В = 90° – 30° = 60°.
Розглянемо ∆СКВ — прямокутний (∠СКВ = 90°). Аналогічно маємо: ∠В + ∠КСВ = 90°, ∠КСВ = 90° – ∠В, ∠KСВ = 90° – 60° = 30°.
За властивістю катета, що лежить навпроти кута 30°, маємо: СВ = 2КВ. Нехай КВ = х см, тоді СВ = 2х (см).
За теоремою Піфагора маємо: СВ2 = СК2 + КВ2; (2х)2 = х2 + 82; 4х2 – х2 = 64; Зх2 = 64; x2 = 64/3; x = √(64/3) = 8/√3 = (8√3)/3.
Отже, СВ = (2 • 8√3)/8 = (16√3)/3 (см).
Відповідь: СВ = (16√3)/3 см.