ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

Радіус кола, вписаного в рівнобедрений трикутник, становить 2/9 висоти, проведеної до основи трикутника. Знайдіть сторони трикутника, якщо його периметр дорівнює 72 см.

Нехай дано ∆АВС — рівнобедрений, АВ = ВС, Р∆АВС = 72 см, коло (О; r) — коло, вписане у ∆АВС, ВD – висота, r = 2/9 ВD.
Знайдемо АВ, ВС, АС. Оскільки висота ВD проведена до основи, то ВD є медіаною (АD = FС). Р∆ABC = АВ + ВС + АС, P_∆ABC/3 = АВ + АD, 72 : 2 = АВ + АD, 36 = АВ + АD, ВD = ВО + ОD, ВD = ВО + 2/9 ВD, ВО = ВD – 2/9 ВD, ВО = 7/9 ВD.
Центр вписаного кола точка перетину бісектрис, АО — бісектриса. За властивістю бісектриси ∠А ∆АВС AB/AD = BO/OF = (7/9 BD)/( 2/9 BD) = 7/2.
Нехай х (см) — одна частина, тоді АВ = 7х (см), АD = 2х (см). 7х + 2х = 36, 9х = 36, х = 4. АВ = 7 • 4 = 28 (см), ВС = АВ = 28 (см), АD = 2 • 4 = 8 (см), АС = 2 • АD, АС = 2 • 8 = 16 (см).
Відповідь: АВ = ВС = 28 см, АС = 16 см.