ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

Серединний перпендикуляр діагоналі прямокутника утворює з його більшою стороною кут 60°. Відрізок цієї прямої, який належить прямокутнику, дорівнює 12 см. Знайдіть більшу сторону прямокутника.

Нехай дано прямокутник АВСD, АС — діагональ, т. О — середина АС, КМ ⊥ АС, ∠СКО = 60°, КМ = 12 см.
Знайдемо ВС. Розглянемо ∆КОС і ∆МОА. 1) ∠КОС = ∠МОА = 90°. 2) ОС = ОА. 3) ∠СКО = ∠АМО = 60° (як внутрішні різносторонні кути при ВС ∥ АD і січній КМ).
Отже, ∆КОС = ∆МОА (за катетом і гострим кутом), тоді КО = ОМ = 1/2КМ = 12 : 2 = 6 см.
Розглянемо ∆КСО: ∠О = 90°, ∠ОКС = 60°, тоді ∠КСО = 90° – 60° = 30°. tg60° = CO/KO, √3 = CO/6, CO = 6√3 см, АС = 2 • СО, АС = 2 • 6√3 = 12√3 (см).
Розглянемо ∆АВС, ∠В = 90°, МВ = 1/2АВ, √3/2 = BC/(12√3), BC = (√3 •12√3)/2 = 18 см.
Відповідь: ВС = 18 см.