ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

Катети прямокутного трикутника дорівнюють 6 см і 8 см. Знайдіть відстань від вершини меншого гострого кута трикутника до центра вписаного кола.

За умовою АВ > ВС, отже, за властивістю трикутника маємо: ∠C > ∠A.
Отже, ∠A — менший гострий кут. Отже, треба знайти АО.
Розглянемо чотирикутник ВNОР — квадрат. За властивістю радіусів, проведених в точку дотику , ОN ⊥ АВ, ОР ⊥ ВС, ∠ABC = 90° (за умовою).
ОN = ОР = r, ВN = ВР (за властивістю дотичних, проведених до кола з однієї точки).
Нехай ВN = ВР = х см, тоді за аксіомою вимірювання відрізків маємо: АN = АВ – NВ, РС = ВС – ВР, АС = АК + КС, АN = 8 – х (см), РС = 6 – x (см).
За властивістю дотичних, проведених до кола з однієї точки, маємо: АN = АК = 8 – x (см), РС = КС = 6 – x (см), АС = (8 – х) + (6 – х) = 14 – 2х (см).
Розглянемо ∆АВС — прямокутний (∠В = 90°). За теоремою Піфагора маємо: АС2 = АВ2 + ВС2, АС2 = 82 + 62 = 64 + 36 = 100 = 102, АС = 10 см.
Отже, АС = 14 – 2х = 10, –2х = 10 – 14, –2х = –4, x = –4 : (–2), х = 2.
ОN = ОР = ВР = NВ = 2 см. АN = 8 – 2 = 6 (см).
Розглянемо ∆АNО — прямокутний (∠N = 90°). За теоремою Піфагора маємо: АО2 = АN2 + NO2, АО2 = 62 + 22 = 36 + 4 = 40, АО = √40 = √(4•10) = 2√10 (см).
Відповідь: АО = 2√10 см.