ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

Коло, центр якого належить гіпотенузі прямокутного трикутника, дотикається до більшого катета й проходить через вершину протилежного гострого кута. Знайдіть радіус кола, якщо катети дорівнюють 5 см і 12 см.

Нехай дано ∆АВС, ∠C = 90°, коло (О; R), т. О ∈ АВ, т. В ∈ колу (О; R), АС — дотична до кола, M — точка дотику, СВ = 5 см, АС = 12 см.
Знайдемо радіус кола R. ОВ = ОМ = R. ОМ ⊥ АС (як радіус, проведений у точку дотику), ВС ⊥ АС, тоді МО ∥ СВ.
Розглянемо ∆АСВ, оскільки МО ∥ СВ, то ∆АМО ~ ∆АСВ, з цього випливає, що AM/AC = MO/CB = AO/AB, AM/12 = R/5 = AO/AB.
З ∆АВС, ∠C = 90°, за теоремою Піфагора АВ2 = AC2 + CB2, AB2 = 122 + 52, АВ2 = 144 + 25, АВ2 = 169, АВ = 13 см.
АО = АВ – ОВ, АО = 13 – R, R/5 = (13- R)/13, R • 13 = 5(13 – R), 13R = 65 – 5R, 13R + 5R = 65, 18R = 65, R = 65/18 см.
Відповідь: R = 65/18 см.