ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

Перпендикуляр, опущений із вершини В прямокутника ABCD на діагональ AC, ділить кут ABC на два кути, величини яких відносяться як 1 : 3. Знайдіть кут між проведеним перпендикуляром і діагоналлю BD.

За умовою ∠АВМ : ∠NBC = 1 : 3. Нехай ∠АВN = х, тоді ∠NВС = Зх.
За аксіомою вимірювання кутів маємо: ∠АВС = ∠АBN + ∠NВС, ∠АВС = 90° (за умовою АВСD — прямокутник).
Отже, маємо: x + Зх = 90; 4х = 90; х = 90 : 4; x = 22,5. Тому ∠АBN = 22,5°, ∠NВС = 3 • 22,5° = 67,5°.
Розглянемо ∆АВN — прямокутний (∠N = 90°, за умовою ВN — висота, ВN ⊥ АС).
За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника маємо: ∠АBN + ∠ВАN = 90°; ∠ВАN = 90° – ∠АBN; ∠ВАN = 90° – 22,5° = 67,5°.
За умовою АВСD — прямокутник. За властивістю діагоналей прямокутника маємо: ВD = АС, ВО = 1/2ВD, АО = 1/2АС. Отже, ВО = АО, тому ∆BОС — рівнобедрений.
За властивістю кутів при основі рівнобедреного трикутника маємо: ∠ВАО = ∠АBО = 67,5°.
За аксіомою вимірювання кутів маємо: ∠NВО = ∠АВО – ∠АBN, ∠NВО = 67,5° – 22,5° = 45°.
Відповідь: ∠NВО = 45°.