ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

Діагоналі рівнобічної трапеції є бісектрисами її гострих кутів і точкою перетину діляться у відношенні 5 : 13. Знайдіть площу трапеції, якщо и висота дорівнює 90 см.

За умовою ВD — бісектриса ∠АDС. Розглянемо ∆АDС.
За властивістю бісектриси кута трикутника маємо: AO/OC = AD/DC; AD/DC = 13/5.
Нехай АD = 13х (см), DС = 5х (см). За умовою ВD — бісектриса ∠АDС.
За означенням бісектриси кута маємо: ∠АDВ = ∠ВDС = 1/2∠АDС. ВС ∥ АD, ВD – січна.
За ознакою паралельних прямих маємо: ∠СВD = ∠ВDА (внутрішні різносторонні).
Отже, ∠СВD =∠СDВ. За властивістю кутів рівнобедреного трикутника маємо: ∆АВС — рівнобедрений (АВ = ВС).
Отже, ВС = СD = 5х (см). За властивістю рівнобічної трапеції маємо: АN = 1/2(АD – BC); АN = (13x-5x)/2 = 8x/2 = 4х (см).
Розглянемо ∆АNВ — прямокутний (∠N = 90°). За теоремою Піфагора маємо: АВ2 = АN2 + ВN2.
Складемо і розв’яжемо рівняння: (5х)2 = (4х)2 + 902; (5х)2 – (4х)2 = 902; 25х2 – 16х2 = 902; 9х2 = 902; (Зх)2 = 902; Зх = 90; х = 90 : 3; х = 30.
Отже, АD = 13 • 30 = 390 (см), ВС = 5 • 30 = 150 (см).
SABCD = (a+b)/2 • h, де а = AD = 390 см, b = ВС = 150 см, h = BN = 90 см.
SABCD = (150+390)/2 • 90 = 540/2 • 90 = 270 • 90 = 24300 (см2).
Відповідь: SABCD = 24300 см2.