ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

Бісектриса кута BAD паралелограма ABCD перетинає сторону BC у точці M так, що BM : MC = 5 : 4. Знайдіть сторони паралелограма, якщо периметр трикутника BOC на 8 см більший за периметр трикутника COD, де O — точка перетину діагоналей паралелограма.

За умовою ВМ — бісектриса ∠ВАD. За означенням бісектриси кута маємо: ∠ВАМ = ∠МАD = 1/2∠ВАD.
За умовою АВСD – паралелограм. За означенням паралелограма маємо: ВС ∥ АD, АМ — січна.
За ознакою паралельних прямих маємо: ∠ВМА = ∠DАМ (внутрішні різносторонні). Отже, отримали: ∠ВАМ = ∠ВМА.
За властивістю кутів при основи рівнобедреного трикутника маємо: ∆АВМ — рівнобедрений, АВ = ВМ.
За умовою ВМ : МС = 5 : 4. Нехай ВМ = 5х (см), МС = 4х (см).
За аксіомою вимірювання відрізків маємо: ВС = ВМ + МС, ВС = 5х + 4х = 9х (см). Отже, якщо ВМ = 5х (см), тоді АВ = 5х (см).
За властивістю протилежних сторін паралелограма маємо: АВ = СD = 5х (см).
За умовою АВСD — паралелограм. За властивістю діагоналей паралелограма маємо: ВO = OD = 1/2ВD, АО = ОС = 1/2АС.
Р∆BOC = ВО + ОС + ВС = (ВО + ОС) + 9х (см).
Р∆COD = СО + ОD + CD = (CO + OD) + 5х (см). ВО = ОD. Отже, Р∆COD = (СО + ВО) + 5х (см).
Р∆BOC – Р∆COD = 8. ((СО + ВО) + 9х) – ((СО + ВО) + 5х) = 8; (CO + ВO) + 9х – (CO + BO) – 5х = 8; 4х = 8; х = 8 : 4; х = 2. Отже, АВ = 5 • 1 = 10 (см), ВС = 9 • 2 = 18 (см).
Відповідь: 10 см, 18 см.