ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

У трикутнику ABC медіани BM і CK перпендикулярні та перетинаються в точці О. Знайдіть відрізок AO, якщо BM = 36 см і CK = 15 см.

Оскільки медіани ВМ і СК перетинаються в т. О, то за властивістю медіан СО/ОК = 2/1; ВО/ОМ = 2/1.
СО = 2х (см), ОK = x (см). СК = СО + ОK; СK = 2x + x; 15 = 3x; x = 5. ОК = 5 см, СО = 2 • 5 = 10 см.
ВО = 2у (см), ОМ = у (см). ВМ = ВО + ОМ; 36 = 2у + у; 36 = 3у; у = 12. ОМ = 12 см, ВО = 2 • 12 = 24 см.
Проведемо третю медіану АN, яка проходить через т. О.
Розглянемо ∆ВОС, ∠О = 90°, за теоремою Піфагора ВС2 = BO2 + OC2; ВС2 = 24 + 102; ВС2 = 576 + 100; ВС2 = 676; ВС = 26 см.
ОN — медіана прямокутного ∆ВОС, проведена до гіпотенузи. ОN = 1/2ВС; ОN = 26 : 2 = 13 см.
За властивістю медіани ∆АВС AO/ON = 2/1 • ОN = z (см), АО = 2z (см). АО = 2 • 13 = 26 (см).
Відповідь: АО = 26 см.