ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

§ 3. Розв'язування прямокутних трикутників

Завдання №573 Збільшити

Медіани AM і CK трикутника ABC перпендикулярні. Знайдіть сторони трикутника, якщо AM = 9 см і CK = 12 см.

Нехай медіани АМ і СK перетинаються в т. О, за властивістю медіан трикутника AO/OM = 2/1; CO/OK = 2/1. АО = 2х (см), ОМ = x (см). АМ = АО + ОМ; 9 = 2x + х; 9 = Зх; х = 3. ОМ = 3 см, АО = 2 • 3 = 6 см.
СО = 2у (см), ОК = у (см). СК = СО + ОK; 12 = 2у + у; 12 = Зу; у = 4. ОK = 4 см, СО = 2 • 4 = 8 см.
3 ∆АОС, ∠О = 90°, за теоремою Піфагора АС2 = АО2 + ОС2; АС2 = 62 + 82; АС2 = 36 + 64; АС2 = 100; АС = 10 см.
З ∆СОМ, ∠О = 90°, за теоремою Піфагора СМ2 = СО2 + ОМ2; СМ2 = 82 + З2; СМ2 = 64 + 9; СМ2 = 73; СМ = √73 см. СВ = 2СМ (АМ — медіана), СВ = 2√73 см.
3 ∆АОК, ∠О = 90°, за теоремою Піфагора АК2 = АО2 + ОК2; АК2 = 62 + 42; АК2 = 36 + 16; АК2 = 52; АК = √52 = 2√13 см. АВ = 2АК (СK — медіана), АВ = 4√13 см.
Відповідь: АВ = 4√13 см, СВ = 2√73 см, АС = 10 см.