ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

Радіус кола, вписаного в рівнобедрений трикутник, дорівнює 12 см, а відстань від вершини рівнобедреного трикутника до центра кола — 20 см. Знайдіть периметр даного трикутника.

Нехай дано ∆АВС — рівнобедреник, АВ = ВС, коло (О; r) — коло, вписане у ∆АВС, r = 12 см, ВО = 20 см.
Знайдемо Р∆ABC. Оскільки ∆АВС — рівнобедрений, то т. О лежить на висоті ВК.
Точки М, N, К — точки дотику вписаного кола у даний ∆АВС.
МО = ОN = ОК = r = 12 см. ВК = ВО + ОК, ВК = 20 + 12 = 32 см.
Розглянемо ∆ВМО, ∠М = 90° (радіус ОМ ⊥ АВ).
За теоремою Піфагора ВО2 = ВМ2 + МО2; ВМ2 = ВО2 – МО2; ВМ2 = 202 – 122; ВМ2 = 400 – 144; ВМ2 = 256; ВМ = 16 (см). ВМ = ВN = 16 см як відрізки дотичних, проведених точки до кола.
Так як ВК — висота в рівнобедреному ∆АВС, проведена до основи, є медіаною, то АК = КС.
АК = АМ KC = CN як відрізки дотичних, проведених з точки дотику до кола.
Нехай АК = КС = АМ = СN = х (см).
З ∆АВК, ∠К = 90°, за теоремою Піфагора АВ2 = АК2 + ВК2; АВ = ВМ + МА; АВ = 16 + х; (16 + x)2 = х2 + 322; 256 + 32x + х2 = x2 +1024; 256 + 32x + х2 – х2 – 1024 = 0; 32x = 768; x = 768 : 32; x = 24. АС = АК + КС, АС = 24 + 24 = 48 (см), АВ = 16 + 24 = 40 (см).
P∆ABC = AB + BC + AC, P∆ABC = 40 + 40 + 48 = 128 (см).
Відповідь: P∆ABC = 48 см.