ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 12 см і 20 см, а діагональ є бісектрисою тупого кута трапеції. Знайдіть цю діагональ.

Нехай дано трапецію АВСD, ВС ∥ АD, АВ ∦ СD, АВ = Сd, ВС = 12 см, АD = 20 см, АС — діагональ, АС — бісектриса ∠С.
Знайдемо АС. ∠ВСА = ∠АСD (СА — бісектриса ∠С).
∠ВСА = ∠САD (як внутрішні різносторонні при ВС ∥ АD і січній АС). ∠АСD = ∠CAD, тоді ∆АСD — рівнобедрений з основою АС. АD = СD = 20 см.
Проведемо висоту СК, тоді за властивістю рівнобокої трапеції АK = (BC+AD)/2; АК = (12+20)/2 = 16 см. КВ = АВ – АК, КВ = 20 – 16 = 4 см.
З ∆СKD, ∠K = 90°, за теоремою Піфагора СD2 = СK2 + КD2; СК2 = 202 – 42; СK2 = 400 – 16; СK2 = 384.
Розглянемо ∆АСК, ∠К = 90°, за теоремою Піфагора АС2 = СК2 + АК2; АС2 = 384 + 162; АС2 = 384 + 256; АС2 = 640; АС = √640 = 8√10 см.
Відповідь: АС = 8√10 см.