ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

Знайдіть периметр прямокутного трикутника, якщо бісектриса гострого кута ділить протилежний катет на відрізки завдовжки 24 см і 51 см.

Нехай дано ∆АВС, ∠С = 90°, АК — бісектриса ∠А, СК = 24 см, КВ = 51 см.
Знайдемо Р∆ABC. Р∆ABC = АВ + ВС + АС. СВ = СК + КВ, СВ = 51 + 24 = 75 см.
Оскільки АК — бісектриса ∆АВС, то за властивістю бісектриси AC/AB = CK/KB; AC/AB = 24/51 = 8/17.
Нехай х (см) – одна частина, тоді АС = 8х (см), АВ = 17х (см).
З ∆АВС, ∠С = 90°, за теоремою Піфагора АВ2 = АС2 + СВ2; (17х)2 = (8х)2 + 752; 289x2 = 64х2 + 5625; 289x2 – 64х2 = 5625; 225x2 = 5625; x2 = 5625/225; x = 75/15 = 5; АС = 5 • 8 = 40 (см), АВ = 5 • 17 = 85 (см).
P∆ABC = 85 + 75 + 40 = 200 (см).
Відповідь: P∆ABC = 200 см.