ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

У колі по один бік від його центра проведено дві паралельні хорди завдовжки 48 см і 24 см. Відстань між хордами дорівнює 12 см. Знайдіть радіус кола.

Нехай дано коло (О; R), DС і АВ — хорди, DС ∥ АВ, DС = 24 см, АВ = 48 см, DК — відстань між хордамн, DN = 12 см.
Знайдемо R. Розглянемо чотирикутник АВСD — трапеція, так як DС ∥ АВ, DС ≠ АВ.
Оскільки т. А, В, С, D лежать на колі, то трапеція АВСD є вписаною в коло, тоді АВСD — рівнобока трапеція, АD = СB.
Проведемо радіуси ОА, ОВ, ОС, ОD.
∆АОВ і ∆DОС — рівнобедрені (АО = ОB = B, ОD = ОС = R).
ОМ — висота ∆DОС, проведена до основи DС, так як ∆DОС – рівнобедрений, то ОМ — медіана, DМ = МС = 1/2DС = 24 : 2 = 12 см.
ОК — висота ∆АОВ, проведена до основи АВ, так як ∆АОВ — рівнобедрений, то ОК — медіана, АК = ВК = 1/2АВ = 48 : 2 = 24 см. МК = МО – ОК. МК = DN = 12 см.
Нехай ОК = x (см), МО = х + 12 (см).
3 ∆DОМ, ∠М = 90°, за теоремою Піфагора DO2 = DM2 + МО2; DO2 = 122 + (х + 12)2; DО2 = 144 + х2 + 24x + 144; DО2 = x2 + 24x + 288.
З ∆АОК, ∠К = 90°, за теоремою Піфагора АО2 = АК2 + КО2; АО2 = 242 + х2; АО2 = 576 + х2.
Оскільки АО = DО = R, то х2 + 24x + 288 = 576 + х2; х2 + 24x + 288 – 576 – x2 = 0; 24x = 288; x = 288 : 24; x = 12. АО2 = 576 + 122; АО2 = 5765 + 144; АО2 = 720; АО = √720 = 12√5 см.
Відповідь: R = 12√5 см.