ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

Точка дотику кола, вписаного в прямокутну трапецію, ділить її більшу основу на відрізки завдовжки 20 см і 25 см, рахуючи від вершини прямого кута. Обчисліть периметр трапеції.

Нехай дано трапецію АВСD, ВС ∥ АD, АВ ∦ СD, ∠А = 90°, коло (О; r) — коло, вписане у трапецію, АК = 20 см, KD = 25 см.
Знайдемо РABCD. РABCD = АВ + ВС + СD + DА.
Нехай М, F, К, N — точки дотику кола до сторін трапеції АВСD.
ОМ = ОF = ОК = ОN — радіуси вписаного кола.
ОМ ⊥ ВС, ОК ⊥ АD, ОN ⊥ АВ, OF ⊥ СD як радіуси, проведені в точку дотику.
АNОК — прямокутник, так як ОN = ОК, то АNОК — квадрат. ВМОN — прямокутник, так як ОN = ОМ, то ВМОN — квадрат.
АК = АN = 20 см ВN = ВМ = 20 см як відрізки дотичних, проведених з точки до кола.
DК = DF = 25 см СМ = СF = x см АВ = 20 + 20 = 40 см, СD = 25 + x (см), ВС = 20 + x (см), АD = 20 + 25 = 45 см.
Проведемо висоту СL, СL = АВ = 40 см. АВСL — прямокутник, тоді АВ = СL, ВС = АL = 20 + х, LD = АD – АL. LD = 45 – (20 + х) = 45 – 20 – х = 25 – х (см).
З ∆СLD, ∠L = 90°, за теоремою Піфагора СD2 = СL2 + LD2; (25 + х)2 = 402 + (25 – х)2; 625 + 50x + х2 = 1600 + 625 – 50x + х2; 100x = 1600; x = 16. ВС = 20 + 16 = 36 (см), СD = 25 + 16 = 41 (см).
PABCD = 40 + 36 + 41 + 45 = 162 см.
Відповідь: PABCD = 162 см.