ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

Точка дотику кола, вписаного в прямокутний трикутник, ділить один із його катетів на відрізки 2 см і 6 см. Знайдіть сторони трикутника.

Нехай дано ∆АВС, ∠С = 90°, коло (О; r) — вписане у ∆АВС, К, М, N — точки дотику, СN = 2см, NВ = 6 см.
Знайдемо АС, АВ, СD. CB = CN + NB; CB = 2 + 6 = 8 см. СN = СК = 2 см, ВN = ВМ = 6 см як відрізки дотичних, проведених з однієї точки до кола.
АК = АМ = х см; АС = АК + КС, АС = x + 2 (см); АВ = АМ + МВ, АВ = x + 6 (см).
З ∆АВС, ∠С = 90°, за теоремою Піфагора АВ2 = АС2 + СВ2; (x + 6)2 = (х + 2)2 + 82; x2 + 12x + 36 = х2 + 4x + 4 + 64; x2 + 12x + 36 – x2 – 4x – 4 – 64 = 0; 8x – 32 = 0; 8x = 32; х = 4. АС = 4 + 2 = 6 (см), АВ = 4 + 6 = 10 (см).
Відповідь: АВ = 10 см, АС = 6 см, СВ = 8 см.