ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

Точка дотику кола, вписаного в прямокутну трапецію, ділить її меншу основу на відрізки завдовжки 6 см і 3 см, рахуючи від вершини прямого кута. Обчисліть периметр трапеції.

Нехай дано трапецію АВСD, ВС ∥ АD, АВ ∦ СD, ∠А = 90°, коло (О; r) – коло, вписане у трапецію, ВМ = 6 см, МС = 3 см.
Знайдемо РАВСD. РABCD = АВ + ВС + СD + АD.
Нехай М, F, K, N — точки дотику кола до сторін трапеції АВСD.
ОМ = ОF = ОК = ОN — радіуси вписаного кола.
ОМ ⊥ ВС. ОК ⊥ АD, ОN ⊥ АВ, ОF ⊥ СD як радіуси, проведені в точку дотику. АNОК — прямокутник, так як ОN = ОК, то АNОК — квадрат. ВМОN — прямокутник, так як ОN = ОМ, то BMON — квадрат. ВМ = ВN = 6 см АN = АК = 6 см як відрізки дотичних, проведених з точки до кола.
DK = DF = x см СМ = СF = 3 см АВ = 6 + 6 = 12 см, ВС = 6 + 3 = 9 см, АВ = 6 + x (см), СD = 3 + x (см).
Проведемо висоту СL, СL = АВ = 12 см.
АВСL — прямокутник, тоді АВ = СL, ВС = АL = 9 см.
LD = АD – АL. LD = 6 + x – 9 = x – 3 (см).
З ∆СLD (∠K = 90°) за теоремою Піфагора СD2 = СL2 + LD2; (З + х)2 = 122 + (x – З)2; 9 + 6x + x2 = 144 + х2 – 6x + 9; 12x = 144; x = 12. СD = 3 + 12 = 15 (см), АD = 6 + 12 = 18 (см).
РABCD = 12 + 9 + 15 + 18 = 54 (см).
Відповідь: РABCD = 54 см.