ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

Основи прямокутної трапеції дорівнюють 18 см і 12 см, а діагональ є бісектрисою гострого кута трапеції. Знайдіть цю діагональ.

Нехай дано трапецію АВСD, ВС ∥ АD, АВ ⊥ АD, ВD — діагональ, ВD — бісектриса ∠D, ВС = 12 см, АD = 18 см. Знайдемо ВD.
Так як ВD — бісектриса ∠D, то ∠АDВ = ∠ВDС. ∠СВD = ∠ВDА (як внутрішні різносторонні при ВС ∥ АD та січній ВD), тоді ∠СВD = ∠СDВ, отже, ∆ВСD — рівнобедрений з основою ВD (ВС = СD = 12 см).
Проведемо висоту СК. АВСК — прямокутник.
ВС = АК = 12 см, АВ = СК (як протилежні сторони прямокутника).
КD = АD – АК, АК = 18 = 12 = 6 см.
З ∆СКD, ∠К = 90°, за теоремою Піфагора СD2 = СК + КD2; СК2 = СD2 – КD2; СК2 = 122 – 62; СК2 = 144 – 36; СК2 = 108; СК = √108 = 6√3 см; СК = АВ = 6√3 см.
З ∆АВD, ∠А = 90°, за теоремою Піфагора ВD2 = АВ2 + АD2; ВD2 = 108 + 182; ВD2 = 108 + 324; ВD2 = 432; ВD = √432 = 6 • 2√3 = 12√3 см.
Відповідь: ВD = 12√3 см.