ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

У колі по різні боки від його центра проведено дві паралельні хорди завдовжки 16 см і 32 см. Відстань між хордами дорівнює 16 см. Знайдіть радіус кола.

Нехай дано коло (О; R), DС і АВ — хорди, DС ∥ АВ, DC = 32 см, АВ = 16 см, АК — відстань між хордами, АК = 16 см.
Знайдемо R. Розглянемо чотирикутник АВСD — трапеція, так як DС ∥ АВ, DС ≠ АВ.
Оскільки т. А, В, С, D лежать на колі, то трапеція АВСD є вписаною в коло, тоді АВСD — рівнобока трапеція, АD = СВ.
Проведемо радіуси OD, ОС, ОА, ОВ. ∆DOС і ∆АОВ — рівнобедрені (ОD = ОС = R, АО = ОВ = R).
ОМ — висота ∆DOС, проведена до основи DС, так як ∆DOС — рівнобедрений, то ОМ — медіана.
DМ = МС = 1/2DС = 32 : 2 = 16 см. ОN — висота ∆АОВ, проведена до основи АВ. так як ∆АОВ рівнобедрений, то ОN — медіана.
АN = NВ = 1/2АВ = 16 : 2 = 8 см. ОМ + ОN = МN; МN = АК = 16 см.
Нехай ОМ = х (см), ОN = 16 – x (см). З ∆DОМ, ∠М = 90°, за теоремою Піфагора DО2 = DМ2 + МО2; DО2 = 162 + х2; DО2 = 256 + х2.
З ∆АОN, ∠N = 90°, за теоремою Піфагора АО2 = АN2 + NО2; АО2 = 82 + (16 – х)2; АО2 = 64 + 256 – 32x + х2; АО2 = 320 – 32x + х2.
Оскільки АО = DО = R, то 256 + х2 = 320 – 32х + х2; 64 – 32x = 0; –32x = –64; x = 2. DО2 = 256 + 22; DО2 = 256 + 4; DО2 = 260; DО = √260 = 2√65 см.
Відповідь: R = 2√65 см.