ГДЗ Геометрія 8 клас Бурда (2025)

965. Знайдіть сторони трикутника, якщо радіус вписаного кола дорівнює r, а кути трикутника дорівнюють α, β, γ.

Дано: ∆ABC – описаний навколо кола; ∠A = α, ∠B = β; ∠C = γ, OK = OM = OP = r. Знайти: AB, BC, AC.
Розв’язання
Центр вписаного кола є точкою перетину бісектрис трикутника.
∆AKO (∠K = 90°): ∠OAK = 1/2 ∠A = α/2.
tg ∠OAK = OK/AK; AK = OK/(tg∠OAK) = r/(tg α/2); AP = AK = r/(tg α/2).
∆BKO (∠K = 90°): KB = r/(tg β/2), BM = KB = r/(tg β/2).
∆CMO (∠M = 90°): MC = r/(tg γ/2); PC = MC = r/(tg γ/2).
AB = AK + KB = r/(tg α/2) + r/(tg β/2) = r(1/(tg α/2) + 1/(tg β/2)).
BC = BM + MC = r/(tg β/2) + r/(tg γ/2) = r(1/(tg β/2) + 1/(tg γ/2)).
AC = AP + PC = r/(tg α/2) + r/(tg β/2) = r(1/(tg β/2) + 1/(tg γ/2)).
Відповідь: r(1/(tg α/2) + 1/(tg β/2)), r(1/(tg β/2) + 1/(tg γ/2)), r(1/(tg β/2) + 1/(tg γ/2)).