ГДЗ Геометрія 8 клас Бурда (2025)

939. Знайдіть радіус r кола, вписаного в рівносторонній трикутник, і радіус R кола, описаного навколо цього трикутника, якщо сторо­ на трикутника дорівнює а.

Дано: ∆АВС; АВ = ВС = АС = а. Знайти: R; r.

Розв’язання
∠А = ∠В = ∠С = 60°.
∠ОВМ = 1/2∠В = 1/2 • 60° = 30°.
О – центр вписаного і описаного кола; ОВ = R, OM – r.
АМ ∈ медіаною, висотою та бісектрисою ∆АВС.
ВМ = 1/2ВС = а/2.
∆ОМВ (∠М = 90°): cos ∠OBM = BM/OB.
OB = BM/(cos∠OBM) = a/(2 cos⁡〖30°〗 ) = (a •2)/(2√3) = a/√3 = (a√3)/3.
R = (a√3)/3. tg ∠OBM = OM/BM.
OM = BM • tg ∠OBM = a/2 • tg 30° = a/2 • √3/3 = (a√3)/6.
Відповідь: R = (a√3)/3, r = (a√3)/6.