ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

У трикутник ABC вписано ромб CDEF так, що кут C у них спільний, а вершини D, E і F ромба належать відповідно сторонам AC, AB і BC трикутникa. Знайдіть сторони AC і BC, якщо AE = 30 см, BE = 12 см, а периметр трикутника дорівнює 105 см.

За умовою СDEF — ромб. Нехай СD = x см, AD = y см, FB = z см. P∆ABC = AB + BC + AC.
За аксіомою вимірювання відрізків маємо: АВ = АЕ + ЕВ, АС = АD + DС, СВ = СF + FВ, АВ = 30 + 12 = 42 (cм).
АС = х + у (см), СВ = х + z (см). 42 + x + y + x + z = 105; 42 + 2x + у + z = 105; 2x + у + z = 105 – 42; 2х + у + z = 63.
За теоремою про пропорційні відрізки маємо: AD/AE = DC/EB; y/x = 30/12; y/x = 5/2; y = 5/2x.
Аналогічно: BF/EF = CF/AE; z/12 = x/30; x/z = 12/30; z = 2/5x. 290x\10 + 2^(\15)/5x + 2^(\2)/5x = 63; (20x+25x+4x)/10 = 63; 49x/10 = 63; x = (63 •10)/49 = 90/7; y = 5/2 • 90/7 = 225/7; z = 2/5 • 90/7 = 36/z; AC = x + y = 90/7 + 225/7 = 315/7 = 45 (см); BC = x + z = 90/7 + 36/7 = 126/7 = 18 (см).
Відповідь: АВ = 45 см, ВС = 18 см.