ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

Доведіть, що сума відстаней від довільної точки рівностороннього трикутника до його сторін є сталою для даного трикутника.

Нехай дано рівносторонній ∆АВС, т. М всередині ∆АВС, МК ⊥ ВС, МF ⊥ АС, МЕ ⊥ АВ.
Доведемо, що МК + МF + МЕ є величиною сталою для цього трикутника.
Розглянемо ∆BMC, S∆BMC = 1/2MK • BC. ∆AMC, S∆AMC = 1/2ME • AC.
∆AMB, S∆AMC = 1/2ME • AB.
S∆ABC = S∆BMC + S∆AMC + S∆AMB; S∆ABC = 1/2MK • BC + 1/2MF • AC + 1/2ME • AB, оскільки ∆АВС – рівносторонній, то АВ = ВС = СА = a, S∆ABC = 1/2а(МК + MF + ME).
Отже, сума MK + ME + ME не залежить від вибору т. М і є сталою величиною.
S∆ABC = (a^2 √3)/4 МК + MF + ME = (a^2 √3)/4 : 1/2a = (a^2 √3)/4 • 2/a = (a√3)/2.