ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

На стороні AC трикутника ABC позначено точку M так, що AM/MC = m/n. Нехай X — довільна внутрішня точка відрізка BM. Доведіть, що S_ABX/S_CBX = m/n.

Нехай дано ∆АВС, т. М ∈ АС, AM/MC = m/n, т. X ∈ ВМ. Доведемо, що S_∆ABX/S_∆CBX = m/n.
Проведемо висоту ВF = h в ∆АВС, проведемо висоту ХG = h1 в ∆АХС.
S∆ABM = 1/2BF • AM = 1/2h • AM; S∆MBC = 1/2BF • MC = 1/2h • MC; S∆AXM = 1/2XG • AM = 1/2h1 • AM; S∆MXC = 1/2XG • MC = 1/2h1 • MC; S∆ABX = S∆ABM – S∆AXM = 1/2h • AM – 1/2h1 • AM = 1/2AM(h – h1); S∆CBX = S∆MBC – S∆MXC = 1/2h • MC – 1/2h1 • MC = 1/2MC(h – h1); S_∆ABX/S_∆CBX = (1/2 AM(h-h_1))/(1/2 MC(h- h_1)) = AM/MC = m/n.