ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

Точка дотику кола, вписаного в прямокутний трикутник, ділить його гіпотенузу на відрізки, один з яких на 14 см більший за другий. Знайдіть площу трикутника, якщо радіус вписаного кола дорівнює 4 см.

Нехай дано ∆АВС, ∠С = 90°, коло (О; r) — коло, вписане у ∆АВС, М, N, Р — точки дотику, АР > РВ на 14 см, r = 4 см. Знайдемо S∆ABC.
Нехай РВ = х (см), тоді АР = х + 14 (см). АР = АМ = х + 14 (см), ВР = ВN = х (см) та СN = СМ = r = 4 см як відрізки дотичних, проведених з точки до кола. а = АС = АМ + МС = х + 14 + 4 = x + 18 (см); b = СВ = СN + NВ = 4 + х (см); с = АВ = АР + РВ = х + 14 + х = 2х + 14 (см).
За теоремою Піфагора АВ2 = АС2 + СВ2.
(2х + 14)2 = (х + 18)2 + (4 + х)2; 4х2 + 56х + 196 = х2 + 36х + 324 + 16 + 8х + х2; 4х2 + 56х + 196 – х2 – 36х – 324 – 16 – 8х – х2 = 0; 2х2 + 12х – 144 = 0; х2 + 6х – 72 = 0; х1 = 6; х2 = –12 — не задовольняє умові (х > 0).
АС = 6 + 18 = 24 см, СВ = 4 + 6 = 10 см.
S∆ABC = 1/2AC • CB, S∆ABC = 1/2 • 24 • 10 = 120 cм2.
Відповідь: S∆ABC = 120 cм2.