ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

У прямокутному трикутнику ABC до гіпотенугзи AB проведено висоту CM. Площа трикутника ACM дорівнює 6 см2, а площа трикутника BCM — 54 см2. Знайдіть сторони трикутника ABC.

S∆AСM = 1/2CM • AM = 6 см2, S∆BCM = 1/2CM • MB = 54 см2.
S_∆ACM/S_∆BCM = (1/2 CM •AM)/(1/2 CM •MB) = 6/54 = 1/9.
Нехай х (см) — одна частина, тоді АМ = х (см), МВ = 9х (см).
За властивістю висоти СМ в прямокутному трикутнику СМ2 = АМ • МВ. СМ2 = х • 9х (x); СМ2 = 9х2.
S∆ABC = S∆AMC + S∆AСM = 6 + 54 = 60 см2; S∆ABC = 1/2CM • AB; AB = АМ + МВ; АВ = х + 9х = 10х (см). 1/2CM • 10x = 60; CM = 120/10x = 12/x.
Підставимо у рівність (12/x)2 = 9x2; 144/x^2 = 9x2; 9х4 = 144; х4 = 144/9 = 16; х = 2.
АВ = 2 • 10 = 20 (см), АМ = 2 см, МВ = 2 • 9 = 18 см, СМ = 12/2 = 6 см.
Із ∆АМС, ∠М = 90° за теоремою Піфагора АС2 = АМ2 + МС2; АС2 = 22 + 62; АС2 = 4 + 36; АС2 = 40; АС = √40 = 2√10 см.
Із ∆АВС, ∠С = 90° за теоремою Піфагора АВ2 = АС2 + ВС2; СВ2 = АВ2 – AC2; СВ2 = 202 – 40; СВ2 = 400 – 40; СВ2 = 360; СВ = √360 = 6√10 см.
Відповідь: СВ = 6√10 см, АС = 2√10 см, АВ = 20 см.