ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

Центр кола, вписаного в рівнобедрений трикутник, ділить його висоту, проведеную до основи, на відрізки, довжини яких дорівнюють 34 см і 16 см. Знайдіть площу даного трикутника.

Нехай дано ∆АВС — рівнобедрений, АВ = СВ, ВК — висота, коло (O; r) — вписане у ∆АВС, ВО = 34 см, ОK = 16 см.
Знайдемо S∆ABC. ВК = ВО + ОХ, ВК = 34 + 16 = 60 см.
Центр вписаного кола — точка перетину бісектрис кутів трикутника, АО — бісектриса ∠A.
За властивістю бісектриси кута трикутника AB/AK = BO/OK; AB/AK = 34/16 = 17/8.
Нехай х (см. ). — одна частина, тоді АВ = 17x (см), АK = 8х (см).
З ∆АВK за теоремою Піфагора АВ2 = АК2 + ВК2; (17x)2 = (8х)2 + 502; 289x2 = 64x2 + 2500; 289x2 – 64x2 = 2500; 225x2 = 2500; х2 = 2500/225; х = 50/15 = 10/3. АК = 8 • 10/3 = 80/3 (см).
Так як ВК — висота, проведена до основи рівнобедреного трикутника, то ВК є медіаною.
AK = KC = 1/2AC, AC = 2 • AK, AC = 2 • 80/3 = 160/3 (см).
S∆ABC = 1/2BK • AC, S∆ABC = 1/2 • 50 • 160/3 = 25 • 160/3 = 4000/3 = 13331/3 см2.
Відповідь: S∆ABC = 13331/3 см2.