ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

У рівнобедрений трикутник вписано коло. Точка дотику ділить бічну сторону трикутника у відношенні 9 : 8, рахуючи від вершини рівнобедреного трикутника. Знайдіть площу трикутника, якщо радіус вписаного кола дорівнює 16 см.

Нехай дано ∆АВС— рівнобедрений, АВ = ВС, коло (О; к) — вписане у трикутник, М, Т, Л — точки дотику, к = 16 см, ВТ : NС = 9 : 8.
Знайдемо S∆ABC. Нехай х (см) — одна частина, тоді ВN = 9x (см), NC = 8x (см).
ВС = ВN + NC, ВС = 9x + 8x = 17x (см).
BN = BM = 9x (см) та CN = CK = 8x (см) – властивість дотичних, проведених з точки до кола.
Центр кола т. О лежить на висоті ВК, оскільки висота ВК проведена до основи, то ВК — медіана, АК = КС = 8х (см).
Центр вписаного кола — точка перетину бісектрис кутів ∆АВС, СО — бісектриса ∠С.
За властивістю бісектриси ∆ВКС: BC/CK = BO/OK, 17x/8x = BO/OK, OK = r = 16 см. 17/8 = BO/16, BO = (17 •16)/8, BO = 34 см. ВК = 34 + 16 = 50 см.
З ∆ВКС, ∠К = 90° за теоремою Піфагора ВС2 = ВК2 + КС2; (17х)2 = 502 + (8х)2; 289х2 = 2500 + 64х2; 289х2 – 64х2 = 2500; 225х2 = 2500; х2 = 2500/225; х = 50/15; x = 10/3. AC = AK + KC; AC = 8x + 8x = 16x; AC = 16 • 10/3 = 160/3 см.
S∆ABC = 1/2BK • AC, S∆ABC = 1/2 • 50 • 160/3 = 25 • 160/3 = 4000/3 = 13331/3 см2.
Відповідь: S∆ABC = 13331/3 см2.