ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

У трикутнику ABC позначено точку M так, що площі трикутників AMВ, BMC і AMC рівні. Доведіть, що M — точка перетину медіан трикутника ABC.

Продовжимо відрізок АМ за точку M, АМ ∩ ВС = т. F.
Із задачі № 757 випливає, що BF/FC = m/n, тоді S_∆ABM/S_∆AMC = m/n, оскільки за умовою ці площі рівні, то m/n = 1/1, тоді BF/FC = 1/1, це означає, що ВF = FС, тобто АF — медіана.
Продовжимо відрізок СМ за точку М, СМ ∩ АВ = т. К, тоді AK/KB = m/n і S_∆AMC/S_∆BMC = m/n, але за умовою S∆AMC = S∆BMC, S_∆AMC/S_∆BMC = m/n, тоді m/n = 1/1, отже, AK = KB, CK – медіана.
CK ∩ AF = т. М, тоді т. М — точка перетину медіан ∆АВС.