ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

Точка дотику кола, вписаного в прямокутний трикутник, ділить його гіпотенузу на відрізки завдовжки 8 см і 12 см. Знайдіть площу трикутника.

Нехай дано ∆АВС, ∠C = 90°, коло (О; r) — коло, вписане у ∆АВС, т. М, К, N — точки дотику, АК = 12 см, КВ = 8 см.
Знайдемо S∆ABC. АК = АМ = 12 см, ВК = ВМ = 8 см та СМ = СN як відрізки дотичних, проведених з точки до кола.
Нехай СМ = СN = x (см), тоді АС = АМ + МС; АС = 12 + х; ВС = ВN + NС; ВС = 8 + x; АВ = АК + КВ; АВ = 12 + 8 = 20 см.
З ∆АВС, ∠C = 90° за теоремою Піфагора АВ2 = АС2 + СВ2. 202 = (12 + х)2 + (8 + x)2; 400 = 144 + 24x + х2 + 64 + 16x + х2; 2х2 + 40x + 144 + 64 – 400 = 0; x2 + 20x + 72 + 32 – 200 = 0; x2 + 20x – 96 = 0;
D = b2 – 4ас; D = 202 – 4 • 1 • (–96) = 400 + 384 = 784;
x1 = (-20+28)/2 = 4; x2 = (-20-28)/2 = –48/2 = –24 – не задовольняє умові.
СМ = СN = 4 см. АС = 12 + 4 = 16 см, СВ = 8 + 4 = 12 см.
S∆ABC = 1/2АС • СВ, S∆ABC = 1/2 • 16 •12 = 96 см2.
Відповідь: S∆ABC = 96 см2.