ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

На продовженні сторони AC трикутника ABC за точку позначили точку D таку, що AD =AB, а на продовженні цієї сторони за точку C — точку E таку, що CE = BC. Знайдіть кути та периметр трикутника ABC, якщо DE = 18 см, ∠BDA = 15°, ∠BEC = 36°.

Нехай задано ∆АВС; D ∈ АС, Е ∈ ВС; DE = 18 см; ∠ВDА = 15°. ∠ВЕС = 36°. Р∆ABC = AB + ВС + АС. За умовою ЕС = СВ, АВ = АD.
Тоді маємо: Р∆ABC = АВ + ВС + АС = АD + АС + СЕ = ЕD (за аксіомою вимірювання відрізків). P∆ABC = 18 см.
Розглянемо ∆ЕСВ — рівнобедрений (ЕС = СВ). За властивістю кутів рівнобедреного трикутника маємо: ∠ВЕС = ∠ЕВС = 36°. Із теореми про суму кутів трикутника маємо: ∠ЕСВ = 180° – (∠ВЕС + ∠ЕВС), ∠ЕСВ = 180° – (36° + 36°) = 180° – 72° = 108°.
Розглянемо ∆ВАD — рівнобедрений (АВ = АD). За властивістю кутів рівнобедреного трикутника маємо: ∠АВD = ∠АDВ = 15°. Із теореми про суму кутів трикутника маємо: ∠ВАD = 180° – (∠АВD + ∠АDВ), ∠ВАD = 180° – (15° + 15°) = 180° – 30° = 150°. ∠ВАС і ∠ВАD, ∠ВСЕ і ∠ВСА — суміжні.
За теоремою про суміжні кути маємо: ∠ВАС + ∠ВАD = 180° і ∠ВСЕ + ∠ВСА = 180°. Звідси маємо: ∠ВСА = 180° – ∠ВСЕ, ∠ВСА = 180° – 108° = 72°, ∠ВАС = 180° – ∠ВАD, ∠ВАС = 180° – 150° = 30°.
Розглянемо ∆АВС. ∠С = 72°, ∠А = 30°.
За теоремою про суму кутів трикутника маємо: ∠А + ∠В + ∠С = 180°, ∠В = 180° – (∠А + ∠С ), ∠В = 180° – (30° + 72°) = 180° – 102° = 78°.
Відповідь: Р∆ABC = 18 см; 30°, 72°, 78°.