ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

У трикутнику ABC проведено серединний перпендикуляр його бісектриси BDi який перетинає сторони AB і BC у точках K і P відповідно. Визначте вид чотирикутника BKDP.

За умовою КР — серединний перпендикуляр до бісектриси BD. КР ∩ BD = О, BO = OD.
Розглянемо ∆ВОР і ∆POD — прямокутні, ∠ВОР = ∠DOP = 90°. 1) BO = OD = 1/2BD; 2) ∠ВОР = ∠DOP = 90°; 3) OP — спільна сторона.
За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо: ∆ВОР = ∆DOP. За властивістю рівних фігур маємо: ∠ВРО = ∠DPO і BP = PD.
Розглянемо ∆ВОР і ∆ВОК — прямокутні. 1) ∠РВО = ∠КВО = 1/2∠КВР; 2) ∠ВОР = ∠ВОК = 90°; 3) ВО — спільна сторона. За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо: ∆ВОР = ∆ВОК.
Звідси маємо BP = ВК, ∠ВРО = ∠ВКО. Звідси маємо ∠DРО = ∠ВКО. Прямі PD і ВК, КР — січна. За ознакою паралельності прямих маємо, якщо ∠DPO = ∠ВКО (внутрішні різносторонні), тоді PD ∥ ВК. ∆ВОК = ∆DOK (∠ВКО = ∠DKO). ∆POD = ∆KOD. 1) ∠POD = ∠KOD =90°; 2) ∠ВКО = ∠DKO.
Звідси маємо ВР ∥ KD. Отже, KBPD — паралелограм. BD ⊥ КР. За теоремою 5.2 маємо: KBPD — ромб.
Відповідь: KBPD — ромб.