ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

Доведіть, що бісектриси кутів паралелограма, у якого сусідні сторони не рівні, перетинаючись, утворюють прямокутник.

Нехай ABCD — паралелограм, ВК, АК, CN, DN — бісектриси, ВК ∩ CN т. Р, АК ∩ DN = т. М. Доведемо, що KMNP — паралелограм. ∠BAF = ∠FAD = 1/2∠А (AF — бісектриса).
∠BFA = ∠FAD (як внутрішні різносторонні при ВС ∥ AD і січній AF). ∠BAF = ∠BFA = 1/2∠А. ∠BCN = ∠DCN = 1/2∠C (CN — бісектриса).
Так як ∠А = ∠С , то ∠BFA = ∠BCN, ці кути є відповідними при AF і СР та січній ВС. Ці кути рівні, отже AF ∥ СР. ∠ABG = ∠GBC = 1/2∠В (ВК — бісектриса). ∠AGB = ∠GBC (як внутрішні різносторонні при ВС ∥ AD і січній BG). ∠NDA = ∠NDC = 1/2∠D (DN – бісектриса).
Так як ∠В = ∠D, то ∠ВGА = ∠NDА, ці кути є відповідними при ВG і DN та січній АD. Ці кути рівні, отже ВG ∥ DN. Чотирикутник PKMN — паралелограм (КМ ∥ РN, КР ∥ МN). ∠А + ∠В = 180° (як сусідні кути паралелограма). ∠АВК = 1/2∠В ; ∠ВАК = 1/2∠А.
Розглянемо ∆АВК: ∠АВК + ∠ВАК + ∠АКВ = 180° 1/2∠В + 1/2∠А + ∠АКВ = 180°; 1/2(∠В + ∠А) + ∠АКВ = 180°: ∠АКВ = 90°. ∠РКМ = ∠АКВ = 90° (як вертикальні).
Оскільки в паралелограмі РKМN один кут прямій, то це — прямокутник.