ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

У прямокутнику ABCD відомо, що AD = 9 см, ∠BDA = 30°. На сторонах BC і AD позначено відповідно точки M і K так, що утворився ромб AMCK. Знайдіть сторону цього ромба.

Розглянемо ∆ВАD і ∆АDС — прямокутні (∠ВАD – ∠СDА = 90°). АВ = СD (сторони прямокутника), АD — спільна сторона.
За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо: ∆ВАD = ∆СDА. За властивістю рівних фігур маємо: ∠ВDА = ∠САD = 30°.
Розглянемо ромб АМСК: АС — діагональ ромба. За властивістю діагоналей ромба маємо: ∠САК = ∠САМ = 1/2∠КАМ; ∠КАМ = 2 • 30° = 60°.
За властивістю протилежних кутів ромба маємо: ∠МАК = ∠МСК = 60°. За аксіомою вимірювання кутів маємо: ∠КСD = ∠ВСD – ∠МСК, ∠КСD = 90° – 60° = 30°.
Розглянемо ∆КСD — прямокутний (∠D = 90°), якщо ∠KCD = 30°.
За властивістю катета, який лежить напроти кута 30°, маємо: КD = 1/2КС. Нехай КD = x см, тоді КС = 2х (см). За аксіомою вимірювання відрізків маємо: АD = АК + КD.
Складемо і розв’яжемо рівняння: x + 2х = 9; Зx = 9; х = 9 : 3; х = 3. Отже, КС = 3 • 2 = 6 (см),
Відповідь: 6 см.