ГДЗ Геометрія 8 клас Бевз (2025)

651. Відстань від центроїда трикутника до довільної прямої, яка не перетинає трикутник, дорівнює середньому арифметичному відстаней від усіх його вершин до цієї прямої. Доведи це, користуючись малюнком 11.17.

Дано: ∆АВС; пряма l, M – центроїд; АА1 = а; ВВ1 = b; CC1 = c; MM1 = m.
Довести: m = (a+b+c)/3.
Доведення
Оскільки пряма l не перетинає ∆АВС, проекції точок на пряму l (B1 і С1) утворюють трапецію ВСС1В1.
КК1 – середня лінія трапеції: КК1 = (ВВ1+ СС1)/2 = (b+c)/2;
Точка М лежить на медіані АК і ділить її у відношенні 2 : 1. АМ = 2/3АК.
Розглянемо прямокутну трапецію А1АКК1: ММ1 ∥ АА1.
ММ1 = (1 • АА1+ 2КК1)/(1+2) = (а+2 • (b+c)/2)/3 = (a+b+c)/3.
Отже, m = (a+b+c)/3.