ГДЗ Геометрія 7 клас Мерзляк (2024)

На сторонах AB і BC трикутника ABC позначили відповідно точки D і E так, що ∠EAC = ∠DCA. Відрізки AE і CD перетинаються в точці F, DF = EF. Доведіть, що трикутник ABC рівнобедрений.

Доведення: Нехай дано ∆ABC, ∠EAC = ∠DCA, AE і CD перетинаються в т. F, DF = FE. Доведемо, що ∆ABC — рівнобедрений. Розглянемо ∆FAC. Так як ∠FAC = ∠FCA, то ∆FAC — рівнобедрений, тоді AF = FC. Розглянемо ∆ADC і ∆СЕА. 1) ∠EAC = ∠DCA (за умовою). 2) AC — спільна. 3) AE = AF + FE, CD = CF + FD, так як AF = CF (∆FAC — рівнобедрений), EF = FD (за умовою), тоді AE = CD. Отже, ∆ADC = ∆CEA за І ознакою рівності трикутників. З цього випливає, що ∠DAC = ∠ECA. Розглянемо ∆АВС. Оскільки ∠BAC = ∠BCA, то ∆ABC — рівнобедрений.