ГДЗ Геометрія 7 клас Мерзляк (2024)

Медіани AE і CF, проведені до бічних сторін BC і AB рівнобедреного трикутника ABC, перетинаються в точці М. Доведіть, що трикутник AMC рівнобедрений.

Доведення: Нехай дано ∆АВС — рівнобедрений (AB = BC), AE — медіана, CF — медіана, AE і CF перетинаються в точці M. Доведемо, що ∆AMC — рівнобедрений. Розглянемо ∆AFC і ∆СЕА. 1) ∠A = ∠C (∆АВС — рівнобедрений). 2) AC — спільна. 3) AF = 1/2AB, CF — медіана. CE = 1/2BC, AE — медіана. AB = BC (∆АВС — рівнобедрений). AF = CE. Отже, ∆AFC = ∆CEA за І ознакою рівності трикутників, з цього випливає, що ∠EAC = ∠FCА. Розглянемо ∆АМС. Оскільки ∠MAC = ∠MCA, то ∆AMC — рівнобедрений.