ГДЗ Алгебра 7 клас Мерзляк (2024)

Доведіть, що при будь–якому натуральному значенні n значення виразу n7 −n кратне 42.

n7 – n = n(n6 – 1) = n(n3 – 1)(n3 + 1) = n(n – 1)(n2 + n + 1)(n + 1)(n2 – n + 1) = (n – 1)n(n + 1)(n2 – n + 1)(n2 + n + 1). Із трьох послідовних натуральних чисел n – 1, n і n + 1 одне обов’язково ділиться на 2 і одне — на три. Тому значення виразу (n – 1)n(n + 1) (n2 – n + 1)(n2 + n + 1) при будь–якому натуральному значенні n ділиться на 2 ∙ 3 = 6. Залишилося показати, що воно ділиться на 42 : 6 = 7. Будь–яке натуральне число n можна записати n = 7m або n = 7m ± 1, або n = 7m ± 2, або n = 7m ± 3.
Якщо n = 7m або n = 7m ± 1, то завжди один із множників n – 1, n або n + 1 буде кратним 7 (обґрунтування аналогічне №1323) і значення виразу (n – 1)n(n + 1)(n2 – n + 1)(n2 + n + 1) кратне 7.
Якщо ж n = 7m ± 2, то завжди один із множників n2 – n + 1 або n2 + n + 1 буде кратним 7 (обґрунтування аналогічне №1323) і значення виразу (n – 1)n(n + 1)(n2 – n + 1)(n2 + n + 1) кратне 7.
Подібним способом можна показати, що коли n = 7m ± 3, то один з виразів n2 – n + 1 або n2 + n + 1 ділиться на 7. Отже, значення виразу (n – 1)n(n + 1)(n2 – n + 1)(n2 + n + 1) кратне 42 при будь– якому натуральному значенні n.