ГДЗ Алгебра 7 клас Мерзляк (2024)

Доведіть, що при будь–якому натуральному значенні n, яке не кратне 5, значення виразу n4 – 1 ділиться націло на 5.

n4 – 1 = (n2 – 1)(n2 + 1) = (n – 1)(n + 1)(n2 + 1).
Натуральне число и, яке не кратне 5 можна записати n = 5m ± 1 або n = 5m ± 2.
Якщо n = 5m + 1, то для множника n – 1 матимемо: n – 1 = (5m + 1) – 1 = 5m — кратне 5.
Отже, значення виразу (n – 1)(n + 1)(n2 + 1) кратне 5.
Якщо b = 5m – 1, то для множника n + 1 матимемо: n + 1 = (5m – 1) + 1 = 5m — кратне 5.
Отже, значення виразу (n – 1)(n + 1)(n2 + 1) кратне 5.
Якщо n = 5m + 2, то для множника n2 + 1 матимемо: n2 + 1 = (5m + 2)2 + 1 = 25m2 + 20m + 4 + 1 = 25m2 + 20m + 5 = 5(5m2 + 4m + 1) — кратне 5.
Отже, значення виразу (n – 1)(n + 1)(n2 + 1) кратне 5.
Якщо n = 5m – 2, то для множника n2 + 1 матимемо: n2 + 1 = (5m – 2)2 + 1 = 25m2 – 20m + 4 + 1 = 25m2 – 20m + 5 = 5(5m2 – 4m + 1) — кратне 5.
Отже, значення виразу (n – 1)(n + 1)(n2 + 1) кратне 5.