ГДЗ Алгебра 7 клас Мерзляк (2024)

Нехай x + y = a, xy = b. Доведіть, що: 1) x2 + y2 = a2 – 2b; 2) x3 + y3 = a3 – 3ab; 3) x4 + y4 = a4 – 4a2b + 2b2.

1) х2 + у2 = х2 + 2ху + у2 – 2ху = (х + у)2 – 2ху.
Якщо х + у = а, ху = b, то (х + у)2 – 2ху = а2 – 2b;
2) х3 + у3 = (х + y)(x2 – ху + у2) = (х + у)(х2 + 2ху + у2 – 3ху) = (х + у)((х + у)2 – 3ху).
Якщо х + у = а, ху = b, то (х + у)((х + у)2 – 3ху) = а(а2 – 3b) = а3 – Заb;
3) х4 + y4 = ((х2)2 + 2х2y2 + (у2)2) – 2x2y2 = (х2 + y2)2 – 2х2y2 = (х2 + 2ху + у2 – 2ху)2 – 2x2y2 = ((х + у)2 – 2ху)2 – 2(ху)2.
Якщо х + у = а, ху = b, то ((х + у)2 – 2ху)2 – 2(ху)2 = (а2 – 2b)2 – 2b2 = а4 – 4a2b + 4b2 – 2b2 = а4 – 4а2b + 2b2.