ГДЗ Геометрія 9 клас Бурда НУШ

85. Координати точки перетину діагоналей паралелограма дорівню– ють середнім арифметичним відповідних координат вершин паралелограма. Доведіть.

Нехай у паралелограмі ABCD координати вершин А(х1; у1), В(х2; у2), С(х3; у3), D(х4; у4).
Діагоналі паралелограма перетинаються у точці О і нею діляться навпіл, отже, О – середина діагоналей.
Координати точки О(х; у):
х = (х_1+ х_3)/2, у = (у_1+ у_3)/2 або х = (х_2+ х_4)/2, у = (у_2+ у_4)/2;
2х = (х_1+ х_3)/2 + (х_2+ х_4)/2 = (х_1+ х_2+ х_3+ х_4)/2, тоді
х = (х_1+ х_2+ х_3+ х_4)/(2•2) = (х_1+ х_2+ х_3+ х_4)/4; аналогічно
2у = (у_1+ у_3)/2 + (у_2+ у_4)/2 = (у_1+ у_2+ у_3+ у_4)/2, звідки
(у_1+ у_2+ 4у_3+ у_4)/4.
Отже, координати точки перетину діагоналей є середнім арифметичним відповідних координат вершин паралелограма. Що й треба було довести.