ГДЗ Геометрія 9 клас Бурда НУШ

80. Дві вершини прямокутного трикутника мають координати: 1) А (2; 5), В (3; 2); 2) А (1; 4), В (9; 6). Чи може третя його вершина міститися в точці: С (8; 8), D (9; 4), О (4; –1), М (8; 7)?

Якщо сума квадратів двох сторін дорівнює квадрату третьої сторони, то трикутник прямокутний.
1) А(2; 5), В(3; 2). Тоді АВ2 = (2 – 3)2 + (5 – 2)2; АВ2 = 10.
АС2 = (8 – 2)2 + (8 – 5)2; АС2 = 36 + 9 = 45;
ВС2 = (8 – 3)2 +(8 – 2)2; ВС2 = 25 + 36 = 61. 61 ≠ 45 + 10, тому С не є вершиною;
AD2 = (9 – 2)2 + (4 – 5)2; AD2 = 49 + 1 = 50;
BD2 = (9 – 3)2 + (4 – 2)2; BD2 = 36 + 4 = 40;
AD2 = BD2 + AB2(50 = 40 + 10), тому т.D є вершиною;
АО2 = (4 – 2)2 + (–1 – 5)2; АО2 = 4 + 36 = 40;
ВО2 = (4 – 3)2 + (–1 – 2)2; ВО2 = 1 + 9 = 10.
АО2 ≠ АВ2 + ВО2 (40 ≠ 10 + 10), тому т.В не є вершиною.
АМ2 = (8 – 2)2 – (7 – 5)2; АМ2 = 36 + 4 = 40;
ВМ2 = (8 – 3)2 + (7 – 2)2 = 25 + 25 = 50.
ВМ2 = АВ2 + АМ2 (50 = 10 + 40), тому т.М є вершиною;
2) А(1; 4), В(9; 6). Тоді АВ2 = (9 – 1)2 + (6 – 4)2;
АВ2 = 64 + 4 = 68. АС2 = (8 – 1)2 + (8 – 4)2;
АС2 = 49 + 16 = 65; ВС2 = (8 – 9)2 + (8 – 6)2 = 1 + 4 = 5.
АВ2 ≠ АС2 + ВС2 (68 ≠ 65 + 5), тому т. С не є вершиною;
AD2 = (9 – 1)2 + (4 – 4)2; AD2 = 64;
BD2 = (9 – 9)2 + (4 – 6)2 = 4;
AB2 = AD2 + BD2 (68 = 64 + 4), тому т.D є вершиною;
АО2 = (4 – 1)2 + (–1 – 4)2 = 9 + 25 = 34;
ВО2 = (4 – 9)2 + (–1 – 6)2 = 25 + 49 = 74;
ВО2 ≠ АВ2 + АО2 (74 ≠ 68 + 34), тому т. О не є вершиною;
AM2 = (8 – 1)2 + (7 – 4)2 = 49 + 9 = 58;
BM2 = (8 – 9)2 + (7 – 6)2 = 2;
АB2 ≠ АМ2 + ВМ2 (68 ≠ 58 + 2), тому т. М не є вершиною.
Відповідь: 1) D i M; 2) D.