ГДЗ Геометрія 8 клас Істер (2025)

Чи можуть бісектриса і медіана, що виходять з вершини прямого кута трикутника, утворювати рівнобедрений трикутник? Якщо так, то знайдіть менший з гострих кутів прямокутного трикутника.

1) CL — бісектриса; CM — медіана.
2) Оскільки BM = AM = CM, то ML < AM, тобто ML < CM.
3) Припустимо CL = CM. Позначимо ∠CBM = β Тоді ∠BCM = α.
4) ∠CMA = 2β (зовнішній кут ∆BMC). Оскільки ми припустили, що CL = CM, то ∠MLC = 2 β.
Тоді ∠MCL = 180° – 4β. З іншого боку ∠MCL = 90° – (45° + β) = 45° – β.
Тому 180° – 4β = 45° – β; β = 45°. Але тоді ∠MCL = 45° – 45° = 0°, що неможливо.
5) Припустимо ML = CL; ∠B = β; ∠CMA = 2β. Тоді й ∠MCL = 2β.
6) Але ∠MCL = ∠LBC – ∠MCB = 45° – β. Маємо 2β = 45° – β; Зβ = 45°; β = 15°. Що можливо.
Відповідь: Так; 15°.